Тригонометрические тождества примеры доказательства. Старт в науке. История развития тригонометрии

В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.

Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.

Навигация по странице.

Связь между синусом и косинусом одного угла

Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве вида . Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства и следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.

То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.

Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.

Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, , а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, .

Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.

В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , где z - любое .

Связь между тангенсом и котангенсом

Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.

Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда . Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то .

Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .

Тригонометрические тождества - это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

\[ \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

Зависимость между синусом и косинусом

\[ \sin^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha=1 \]

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой \(\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) , а отношение \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) - будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \(\alpha \) , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , .

Например: \(tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) является справедливой для углов \(\alpha \) , которые отличны от \(\dfrac{\pi}{2}+\pi z \) , а \(ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) - для угла \(\alpha \) , отличного от \(\pi z \) , \(z \) - является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

Данное тождество справедливо только для таких углов \(\alpha \) , которые отличны от \(\dfrac{\pi}{2} z \) . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что \(tg \alpha = \dfrac{y}{x} \) , а \(ctg \alpha=\dfrac{x}{y} \) . Отсюда следует, что \(tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{x}{y}=1 \) . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

\(tg^{2} \alpha + 1=\dfrac{1}{\cos^{2} \alpha} \) - сумма квадрата тангенса угла \(\alpha \) и \(\alpha \) , отличных от \(\dfrac{\pi}{2}+ \pi z \) .

\(1+ctg^{2} \alpha=\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha} \) - сумма \(\alpha \) , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \(\alpha \) , отличного от \(\pi z \) .

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX! "Тригонометрические тождества". 10-й класс

“Математическая истина, независимо
от того, в Париже или в Тулузе, одна и та же”
Б. Паскаль

Тип урока: Урок формирования умений и навыков.

Урок общеметодологической направленности.

Деятельностная цель : формирование способности учащихся к новому способу действия, связанному с построением структуры изученных понятий и алгоритмов.

Цели урока:

дидактическая : научить применять полученные ранее знания, умения и навыки для упрощения выражений и доказательства тригонометрических тождеств.

развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

воспитательная: показать, что математические понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи, продолжить формирование эстетических навыков при оформлении записей, навыков контроля и самоконтроля.

Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Тригонометрические формулы надо помнить. Но это не значит, что их надо заучивать все наизусть, главное запоминать не сами формулы, а алгоритмы их вывода. Любую тригонометрическую формулу можно довольно быстро получить, если твердо знать определения и основные свойства функций sinα, cosα, tgα, ctgα,соотношение sin 2 α+ cos 2 α =1 и т.д.

Разучивание тригонометрических формул в школе не для того чтобы вы всю оставшуюся жизнь вы вычисляли синусы и косинусы, а для того чтобы ваш мозг приобрел способность работать. ( . Слайд 2 )

“ Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы” писал Г. Спесер, английский философ и социолог.

Будем накачивать и тренировать умственные мышцы. Поэтому повторим основные тригонометрические формулы. ТЕСТ (Слайд 4)(Слайд 5)

Мы повторили формулы, теперь можем помочь двум друзьям, назовём их Ислам и Магомед.

После преобразования некоторого очень сложного тригонометрического выражения А они получили следующие выражения: (Слайд 6)

(Слайд 7) Каждый отстаивал свой ответ. Как узнать кто из них прав? Обратились к Артёму, который дружит с Петром “Платон мне друг, но истина дороже”: сказал Артём и предложил несколько способов разрешения их спора. А какие вы можете предложить способы установить истину? Предлагают способы установления истины (Слайд 8):

1) Преобразовать, упростить А П и А с , т.е. привели к одному выражению

2) А П – А с = 0

3) …..

Т. е. оба были правы. И их ответы равны при всех допустимых значениях α и β .

Как называются такие выражения? Тождествами. Какие тождества вы знаете?

Тождество , основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем.

Тождество – философская категория, выражающая равенство, одинаковость предмета, явления самим с собой или равенство нескольких предметов.

В математике тождество – это равенство, которое справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. (Слайд 9)

Тема урока : “Тригонометрические тождества”.

Цели: найти способы.

Двое работают у доски.

№ 2. Доказать тождество.

П.ч.=Л.ч.

Тождество доказано.

№ 3. Доказать тождество:

1 способ:

2 способ:

Способы доказательства тождеств.

правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.

Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.

Из правой части тождества вычитаем левую часть.

Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Для чего необходимо уметь доказывать тригонометрические тождества? В ЕГЭ задание С1 тригонометрические уравнения!

Решается № 465-467

Итак, подведем итоги урока. (Слайд 10)

Какова была тема урока?

Какие способы доказательства тождеств вам известны?

1. Преобразование левой части к правой или правой к левой.
2. Преобразование левой и правой части к одному и тому же выражению.
3. Составление разности левой и правой частей и доказательство равенства этой разности нулю.

Какие формулы при этом используются?

1. Формулы сокращенного умножения.
2. 6 тригонометрических тождеств.

Рефлексия урока. (Слайд 11)

Продолжите фразы:

– сегодня на уроке я узнал …
– сегодня на уроке я научился…
– сегодня на уроке я повторил…
– сегодня на уроке я познакомился…
– сегодня на уроке мне понравилось…

Домашнее задание. №№465-467 (Слайд 12)

Творческое задание: Подготовить презентацию о знаменитых тождествах математики. (Например тождество Эйлера.) (Слайд

Класс: 10

“Математическая истина, независимо
от того, в Париже или в Тулузе, одна и та же”
Б. Паскаль

Тип урока: Урок формирования умений и навыков.

Урок общеметодологической направленности.

Деятельностная цель: формирование способности учащихся к новому способу действия, связанному с построением структуры изученных понятий и алгоритмов.

Цели урока:

дидактическая: научить применять полученные ранее знания, умения и навыки для упрощения выражений и доказательства тригонометрических тождеств.

развивающая:

воспитательная:

“Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы” писал Г. Спесер, английский философ и социолог.

Будем накачивать и тренировать умственные мышцы. Поэтому повторим основные тригонометрические формулы. (Слайд 3)

(Слайд 4)

(Слайд 5)

Мы повторили формулы, теперь можем помочь двум друзьям, назовём их Пётр и Степан.

1) Преобразовать, упростить А П и А с, т.е. привели к одному выражению

2) А П – А с = 0

Т. е. оба были правы. И их ответы равны при всех допустимых значениях α и β .

Как называются такие выражения? Тождествами. Какие тождества вы знаете?

То ждество , основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем.

Тема урока: “Тригонометрические тождества”.

Цели: найти способы.

Двое работают у доски.

№ 2. Доказать тождество.

Тождество доказано.

№ 3. Доказать тождество:

1 способ:

2 способ:

Способы доказательства тождеств.

правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.
Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.

Из правой части тождества вычитаем левую часть.

Из левой части тождества вычитают правую часть.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Решается № 87 (п. 3)

Итак, подведем итоги урока. (Слайд 10)

Какова была тема урока?

Какие способы доказательства тождеств вам известны?

Какие формулы при этом используются?

1. Формулы сокращенного умножения.
2. 6 тригонометрических тождеств.

Рефлексия урока. (Слайд 11)

Продолжите фразы:

Домашнее задание. Глава VIII; §6; № 78(четные); № 80(2; 4); № 87(2; 4). (Слайд 12)

Творческое задание: Подготовить презентацию о знаменитых тождествах математики. (Например тождество Эйлера.) (Слайд 13)

Пример 2. Доказать тождество

Это тождество мы будем доказывать путем преобразования выражения, стоящего в правой части.

Способ 1.

Поэтому

Способ 2.

Прежде всего заметим, что ctg α =/= 0; в противном случае не имело бы смысла выражение tg α = 1 / ctg α . Но если ctg α =/= 0, то числитель и знаменатель подкоренного выражения можно умножить на ctg α , не изменяя значения дроби. Следовательно,

Используя тождества tg α ctg α = 1 и 1+ ctg 2 α = cosec 2 α , получаем

Поэтому что и требовалось доказать.

Замечание. Следует обратить внимание на то, что левая часть доказанного тождества (sin α ) определена при всех значениях α , а правая - лишь при α =/= π / 2 n.

Поэтому только при всех допустимых значениях α Вообще же эти выражения не эквивалентны друг другу.

Пример 3. Доказать тождество

sin (3 / 2 π + α ) + cos (π - α ) = cos (2π + α ) - 3sin ( π / 2 - α )

Преобразуем левую и правую части этого тождества, используя формулы приведения:

sin (3 / 2 π + α ) + cos (π - α ) = - cos α - cos α = - 2 cos α ;

cos (2π + α ) - 3sin ( π / 2 - α ) = cos α - 3 cos α = - 2 cos α .

Итак, выражения, стоящие в обеих частях данного тождества, приведены к одному и тому же виду. Тем самым тождество доказано.

Пример 4. Доказать тождество

sin 4 α + cos 4 α - 1 = - 2 sin 2 α cos 2 α .

Покажем, что разность между левой и правой частями. данного тождества равна нулю.

(sin 4 α + cos 4 α - 1) - (- 2 sin 2 α cos 2 α ) = (sin 4 α + 2sin 2 α cos 2 α + cos 4 α ) - 1 =

= (sin 2 α + cos 2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.

Тем самым тождество доказано.

Пример 5. Доказать тождество

Это тождество можно рассматривать как пропорцию. Но чтобы доказать справедливость пропорции a / b = c / d , достаточно показать, что произведение ее крайних членов ad равно произведению ее средних членов bc . Так мы поступим и в данном случае. Покажем, что (1 - sin α ) (1+ sin α ) = cos α cos α .

Действительно, (1 - sin α ) (1 + sin α ) = 1 -sin 2 α = cos 2 α .